Đề bài

Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bởi chi phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô đen và không tô đen) như hình vẽ. Phần tô đen gồm hai phần diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol đỉnh I được trồng cỏ nhân tạo với giá 130000 đồng/\({m^2}\) và phần còn lại được trồng với giá 90000 đồng/\({m^2}\). Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền (triệu đồng) để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng đá.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ phù hợp. Từ các điểm thuộc đường cong, tìm phương trình đường cong rồi áp dụng tích phân để tính diện tích.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ O là trung điểm của AB, \(I \in Oy\), \(A \in Ox\).

Khi đó, I(0;10), A(15;0), B(-15;0).

Giả sử đường cong  AIB có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).

Vì ba điểm I, A, B thuộc đường cong nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.15^2} + b.15 + c\\0 = a.{( - 15)^2} + b.( - 15) + c\\10 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{{45}}\\b = 0\\c = 10\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10\).

Diện tích phần tô đen là: \({S_1} = 2\int\limits_{ - 15}^{15} {\left( { - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10} \right)dx}  = 400\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích sân bóng là: 30.50 = 1500 \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích phần không tô đen là: \({S_2} = 1500 - {S_1} = 1500 - 400 = 1100\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền ông An phải trả là:

400.130000 + 1100.90000 = 151000000 đồng hay 151 triệu đồng.

Mở rộng

Các lý thuyết và công thức được áp dụng:

1. Phương pháp tọa độ:

Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.

2. Xác định phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).