Đề bài

Bác Bình muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 1 \({m^2}\) của rào sắt là 700 000 đồng. Hỏi bác Bình phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Lập phương trình đường parabol dựa vào tọa độ các điểm thuộc đồ thị. Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi đường cong parabol phía trên có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).

Ta có các điểm thuộc đường cong: A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2). Từ đó ta lập hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}1,5 = a.2,{5^2} + b.2,5 + c\\1,5 = a.{( - 2,5)^2} + b.( - 2,5) + c\\2 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,5 = 6,25a + 2,5b + c\\1,5 = 6,25a - 2,5b + c\\2 = c\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\).

Diện tích cửa rào sắt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\), trục hoành và hai đường thẳng x = -2,5, x = 2,5.

Ta có \(S = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)dx}  = \frac{{55}}{6}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền bác Bình phải trả để làm cửa sắt là \(\frac{{55}}{6}.700000 \approx 6416667\) (đồng).

Mở rộng

Các lý thuyết và công thức được áp dụng:

1. Phương pháp tọa độ:

Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.

2. Xác định phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).