Đề bài

Một chậy cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt S(0; 0; 30) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là A(30; 0; 0), B(0; 30; 0), C(-30; 0; 0), D(0; -30; 0) (đơn vị: cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 60 N và được phân bố thành bốn lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) có độ lớn bằng nhau như hình vẽ. Tính \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + 2\overrightarrow {{F_2}}  + 3\overrightarrow {{F_3}}  + 4\overrightarrow {{F_4}} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất trung điểm của vecto, biểu thức tọa độ phép cộng vecto, công thức tính độ dài vecto.

Dễ thấy các điểm A, B, C, D cách đều trục Oz, mà S thuộc Oz nên SA = SB = SC = SD.

Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) có độ lớn bằng nhau và có giá trùng với các đường thẳng SA, SB, SC, SD.

Do đó:

\(\overrightarrow {{F_1}}  = k\overrightarrow {SA}  = (30k;0; - 30k)\);

\(\overrightarrow {{F_2}}  = k\overrightarrow {SB}  = (0;30k; - 30k)\);

\(\overrightarrow {{F_3}}  = k\overrightarrow {SC}  = ( - 30k;0; - 30k)\);

\(\overrightarrow {{F_4}}  = k\overrightarrow {SD}  = (0; - 30k; - 30k)\).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}\)

\(= k\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD} } \right) = (0;0; - 120k)\).

Vì O là trung điểm của AC và BD nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \).

Khi đó \(\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}\)

\(= k\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD} } \right) = 4k\overrightarrow {SO} \).

Trọng lực \(\overrightarrow P \) tác dụng lên chậu cây có độ lớn 60 N, gốc S và cùng hướng với \(\overrightarrow {SO} \).

Suy ra \(\overrightarrow P  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = (0;0; - 60)\)

\(\Leftrightarrow - 120k =  - 60 \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}\).

Thay k, ta được:

\(\overrightarrow {{F_1}}  = (15;0; - 15)\); \(\overrightarrow {{F_2}}  = (0;15; - 15)\); \(\overrightarrow {{F_3}}  = ( - 15;0; - 15)\); \(\overrightarrow {{F_4}}  = (0; - 15; - 15)\).

Ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + 2\overrightarrow {{F_2}}  + 3\overrightarrow {{F_3}}  + 4\overrightarrow {{F_4}}  \)

\(= \left( {15 - 15.3;15.2 - 15.4; - 15 - 15.2 - 15.3 - 15.4} \right) \)

\(= ( - 30; - 30; - 150)\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + 2\overrightarrow {{F_2}}  + 3\overrightarrow {{F_3}}  + 4\overrightarrow {{F_4}} } \right| \)

\(= \sqrt {{{( - 30)}^2} + {{( - 30)}^2} + {{( - 150)}^2}} = 90\sqrt 3  \approx 156\) (N).