Đề bài

Một tấm bạt hình vuông cạnh 20 m như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và may lại (các đường may không đáng kể), nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí (tháp dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại tháp khi trời mưa.

Biết khối chóp hình thành sau khi gập và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Hỏi phần diện tích tấm bạt bị cắt là bao nhiêu để đảm bảo yêu cầu trên?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn thể tích khối chóp theo ẩn x. Tìm x để thể tích khối chóp lớn nhất bằng cách ứng dụng đạo hàm, từ đó tính diện tích phần bạt bị cắt.

Ta kí hiệu các điểm như trong hình vẽ.

Có \(AI = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{20}}{2} = 10\) (m), IJ = BC = 20 (m).

Đặt \(EF = FG = GH = HE = x\) (m, x > 0).

\(FH = EG = \sqrt {E{H^2} + H{G^2}}  = \sqrt {{x^2} + {x^2}}  = x\sqrt 2 \) (m).

\(EI = GJ = \frac{{IJ - EG}}{2} = \frac{{20 - x\sqrt 2 }}{2}\) (m).

Xét tam giác AIE vuông tại I:

\(AE = \sqrt {A{I^2} + I{E^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( {\frac{{20 - x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - 10\sqrt 2 x + 200} \) (m).

\(LN = OM = EG = HF = x\sqrt 2 \) (m), \(LP = \frac{{LN}}{2} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\) (m).

\(KL = KO = KM = KN = AE = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - 10\sqrt 2 x + 200} \) (m).

Xét tam giác KLP vuông tại P:

\(KP = \sqrt {K{L^2} - L{P^2}}  = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - 10\sqrt 2 x + 200 - \frac{{{x^2}}}{2}}  = \sqrt {200 - 10\sqrt 2 x} \) (m).

Điều kiện: \(x \le 10\sqrt 2 \).

Thể tích khối chóp là:

\(V = \frac{1}{3}.KP.{S_{LMNO}} = \frac{1}{3}.\sqrt {200 - 10\sqrt 2 x} .{x^2}\) \(\left( {{m^3}} \right)\).

Đặt \(y = \frac{1}{3}.\sqrt {200 - 10\sqrt 2 x} .{x^2}\), ta có \(y' = \frac{{ - 25\sqrt 2 {x^2} + 400x}}{{3\sqrt {200 - 10\sqrt 2 x} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8\sqrt 2 \end{array} \right.\) (loại x = 0).

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi \(x = 8\sqrt 2 \) (m).

Diện tích tấm bạt bị cắt khi đó là \(S = 4{S_{AEB}} = 4.\frac{1}{2}.EI.AB = 2.\frac{{20 - 8\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2}.20 = 80\) \(\left( {{m^2}} \right)\).