Đề bài

Một nhóm gồm n học sinh có tên gọi khác nhau, trong đó có 3 học sinh là An, Bình, Cường. Khi xếp tùy ý n học sinh này vào một dãy ghế theo hàng dọc được đánh số theo thứ tự từ 1 đến n (mỗi học sinh ngồi một ghế). Xác suất để số ghi trên ghế ngồi của An bằng trung bình cộng số ghi trên ghế ngồi của Bình và Cường là \(\frac{7}{{195}}\). Tìm giá trị của n.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chia trường hợp. Áp dụng công thức tính số tổ hợp, số hoán vị.

ĐK: \(n \in \mathbb{N}\), n > 3.

Ta có \(n(\Omega ) = n!\).

Để trung bình cộng hai số ghi trên ghế gồi của Bình và Cường là số tự nhiên thì hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

TH1: n là số chẵn.

Do n chẵn nên trong n ghế có \(\frac{n}{2}\) ghế ghi số lẻ và \(\frac{n}{2}\) ghế ghi số chẵn.

- Nếu cả hai số cùng chẵn thì có \(C_{\frac{n}{2}}^2\) cách.

- Nếu cả hai số cùng lẻ thì có \(C_{\frac{n}{2}}^2\) cách.

Tổng số cách chọn 2 ghế cho Bình và Cường là:

\(2C_{\frac{n}{2}}^2 = 2.\frac{{\left( {\frac{n}{2}} \right)!}}{{2!\left( {\frac{n}{2} - 2} \right)!}} = 2.\frac{{\frac{n}{2}.\left( {\frac{n}{2} - 1} \right).\left( {\frac{n}{2} - 2} \right)!}}{{2!\left( {\frac{n}{2} - 2} \right)!}} = \frac{n}{2}.\left( {\frac{n}{2} - 1} \right) = \frac{{{n^2}}}{4} - \frac{n}{2}\).

Sau khi chọn vị trí cho Bình và Cường, chỉ có 1 cách chọn vị trí cho An, n – 3 bạn còn lại có (n – 3)! cách chọn ghế, đồng thời hoán vị Bình và Cường ta có \(2C_{\frac{n}{2}}^2.1.(n - 3)!.2\) cách chọn.

Xác suất: \(\frac{{2C_{\frac{n}{2}}^2.1.(n - 3)!.2}}{{n!}} = \frac{7}{{195}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {\frac{{{n^2}}}{4} - \frac{n}{2}} \right).(n - 3)!.2}}{{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}} = \frac{7}{{195}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{n^2}}}{2} - n}}{{n(n - 1)(n - 2)}} = \frac{7}{{195}} \Leftrightarrow 195\left( {\frac{{{n^2}}}{2} - n} \right) = 7n(n - 1)(n - 2)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \frac{{209}}{{14}}\\n = 2\\n = 0\end{array} \right.\) (không thỏa mãn).

TH2: n là số lẻ.

Do n lẻ nên trong n ghế có \(\frac{{n - 1}}{2}\) ghế ghi số chẵn và \(\frac{{n + 1}}{2}\) ghế ghi số lẻ.

- Nếu cả hai số cùng chẵn thì có \(C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2\) cách.

- Nếu cả hai số cùng lẻ thì có \(C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2\) cách.

Tổng số cách chọn 2 ghế cho Bình và Cường là:

\(C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 + C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)!}}{{2!\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 2} \right)!}} + \frac{{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)!}}{{2!\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 2} \right)!}}\)

\( = \frac{{\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 1} \right)\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 2} \right)!}}{{2!\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 2} \right)!}} + \frac{{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right)\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 2} \right)!}}{{2!\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 2} \right)!}}\)

\( = \frac{{\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 1} \right)}}{{2!}} + \frac{{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right)}}{2}\)

\( = \left( {\frac{{n - 1}}{4}} \right)\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 1} \right) + \left( {\frac{{n + 1}}{4}} \right)\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right) = \frac{{{{(n - 1)}^2}}}{4}\).

Sau khi chọn vị trí cho Bình và Cường, chỉ có 1 cách chọn vị trí cho An, n – 3 bạn còn lại có (n – 3)! cách chọn ghế, đồng thời hoán vị Bình và Cường ta có \(\left( {C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 + C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2} \right).1.(n - 3)!.2\) cách chọn.

Xác suất: \(\frac{{\left( {C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 + C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2} \right).1.(n - 3)!.2}}{{n!}} = \frac{7}{{195}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{{(n - 1)}^2}}}{4}.1.(n - 3)!.2}}{{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}} = \frac{7}{{195}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{{(n - 1)}^2}}}{2}}}{{n(n - 1)(n - 2)}} = \frac{7}{{195}}\)

\( \Leftrightarrow 195\frac{{{{(n - 1)}^2}}}{2} = 7n(n - 1)(n - 2)\)

\( \Leftrightarrow 195\frac{{{{(n - 1)}^2}}}{2} = 7n(n - 1)(n - 2)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{195}}{2}{(n - 1)^2} - 7n(n - 1)(n - 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow (n - 1)\left( {\frac{{195}}{2}(n - 1) - 7n(n - 2)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow (n - 1)\left( {\frac{{223}}{2}n - \frac{{195}}{2} - 7{n^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 15\\n = \frac{{13}}{4}\\n = 1\end{array} \right.\) (chỉ có n = 15 thỏa mãn).

Vậy n = 15.