Đề bài

Người ta muốn lắp một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí A đến kho chứa dầu đặt ở vị trí B qua một con sông rộng 2 km, dài 6 km. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí P là 4 tỷ VNĐ/km và chi phí lắp đặt ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ P đến kho chứa dầu tại vị trí B là 8 tỷ VNĐ/km (như hình vẽ dưới). Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí P cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đặt ẩn, lập hàm chi phí lắp đặt ống dẫn rồi ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.

Đặt điểm K ở vị trí như hình. Gọi x = PK (km; \(0 \le x \le 6\)).

Khi đó AP = 6 – x (km), \(PB = \sqrt {{x^2} + 4} \) (km).

Chi phí lắp đặt ống dẫn là \(C(x) = 4(6 - x) + 8\sqrt {{x^2} + 4} \) (tỷ đồng).

\(C'(x) = 4(6 - x) + 8\sqrt {{x^2} + 4}  =  - 4 + \frac{{8x}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{8x}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 4 \Leftrightarrow 2x = \sqrt {{x^2} + 4}  \Leftrightarrow {x^2} + 4 = 4{x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = 4 \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) (km).

Bảng biến thiên:

Để chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí P cách nhà máy lọc dầu A một khoảng \(6 - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 4,85\) (km).