Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đưa về tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.

Gọi O là tâm tứ giác ABCD, I là trung điểm của CD. Trong mặt phẳng (SOI), kẻ \(OH \bot SI\), H thuộc SI.

Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông, có AB // CD nên AB // (ACD).

Khi đó \(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {A,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)\) vì AC = 2AO.

Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên \(SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot CD\).

Có OI là đường trung bình của tam giác ACD nên OI // AD, suy ra \(OI \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot CD\\OI \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SOI) \Rightarrow CD \bot OH\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CD\\OH \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O,(SCD)} \right) = OH\).

\(AC = 2\sqrt 2  \Rightarrow OC = \sqrt 2  \Rightarrow SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {6} \); \(OI = \frac{{AD}}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Xét tam giác SOI vuông tại O có đường cao OH:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{6}} + \frac{1}{1} = \frac{{7}}{{6}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {42} }}{{7}}\).

Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right) = 2OH = \frac{{2\sqrt {42} }}{{7}} \approx 1,9\).