Đề bài

Tìm các số nguyên n để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên: \(A = \dfrac{{3n - 4}}{{3 - n}}\).

Phương pháp giải

Phân tích \(A = a + \dfrac{b}{{3 - n}}\), với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}\).

Để \(A \in \mathbb{Z}\) thì \(3 - n \in U\left( b \right)\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{3n - 4}}{{3 - n}} = \dfrac{{3n - 9 + 5}}{{ - n + 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{3n - 9}}{{ - n + 3}} + \dfrac{5}{{ - n + 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 3\left( { - n + 3} \right)}}{{ - n + 3}} + \dfrac{5}{{ - n + 3}}\\\,\,\,\,\, =  - 3 + \dfrac{5}{{ - n + 3}}\end{array}\)

Để A nhận giá trị nguyên thì \( - 3 + \dfrac{5}{{ - n + 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{5}{{ - n + 3}} \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow  - n + 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\)

Ta có bảng giá trị sau:

 

Vậy \(n \in \left\{ {2;4; - 2;8} \right\}\).