Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle C = {30^0},\) đường cao \(AH.\) Trên đoạn \(HC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HB.\)

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHD\).

b) Chứng minh \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

c) Từ \(C\) kẻ \(CE\) vuông góc với đường thẳng \(AD\)\(\left( {E \in \,AD} \right)\). Chứng minh \(DE = HB\).

d) Từ \(D\) kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\) (\(F\,\)thuộc \(AC\)), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AH.\) Chứng minh ba điểm \(I,\,D,\,F\) thẳng hàng.

 

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c.

b) Chứng minh \(\Delta ABD\)là tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\), rồi suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

c) Chứng minh \(DE = DH\) (hai cạnh tương ứng). Mà \(DH = DB\) (giả thiết) \( \Rightarrow DE = DB\).

d) Chứng minh DF và IF cùng vuông góc với AC nên DI trùng với DF hay I, D, F thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHD\) ta có: 

\(HD = HB\) (gt)

\(AH\,\,chung\)

\(\angle AHB = \angle AHD = {90^0}\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AHB = \,\Delta AHD\) (c.g.c)

b) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\),

có \(\angle C = {30^0} \Rightarrow \angle B = {90^0} - {30^0} = {60^0}\) (định lý tổng ba góc của một tam giác).

Vì \(\Delta AHB = \,\Delta AHD\) (cmt)

\( \Rightarrow AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(A\) mà \(\angle B = {60^0}\)

Do đó: \(\Delta ABD\)là tam giác đều.

c) Vì \(\Delta ABD\)là tam giác đều (cmt)

\( \Rightarrow \angle DAB = {60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle CAD = {90^0} - \angle DAB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {90^0} - {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {30^0}\end{array}\)

Xét \(\Delta ACD\) có \(\angle ACD = \angle \,CAD = {30^0}\).

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(D.\)

\( \Rightarrow \,CD = AD\)

Xét \(\Delta DEC\) và \(\Delta DHA\) có:

\(CD = AD\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\angle E = \angle H = {90^0}\)

\(\angle CDE = \angle ADH\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \,\Delta DEC = \Delta DHA\) (cạnh huyền – góc nhọn).

\( \Rightarrow DE = DH\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(DH = DB\) (giả thiết)

\( \Rightarrow DE = DB\).

d) Xét \(\Delta CED\) và \(\Delta AHD\) có:

HD = HB (gt)

Mà DE = BH nên DE = DH.

\(\Delta CED = \Delta AHD\) (cạnh góc vuông - góc nhọn)

suy ra CE = AH, CD = DA, \(\widehat{DCE} = \widehat{DAH}\)

Vì CD = DA nên tam giác CDA cân, do đó \(\widehat{DCF} = \widehat{DAF}\)

Xét tam giác CDF và tam giác ADF có:

CD = AD

FD chung

\(\widehat{CFD} = \widehat{AFD} (=90^\circ)\)

nên \(\Delta CDF = \Delta ADF\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

suy ra CF = FA.

Suy ra \(\widehat{DCE}+\widehat{DCF} = \widehat{DAH}+\widehat{DAF}\)

hay \(\widehat{ECF} = \widehat{HAF}\)

Suy ra tam giác ACI cân tại I.

Suy ra \(CI = IA\)

Xét tam giác CIF và tam giác AIF có:

CI = AI (cmt)

IF chung

CF = FA (cmt)

suy ra \(\Delta CIF = \Delta AIF\) (c.c.c)

suy ra \(\widehat{CFI} = \widehat{AFI}\)

Mà hai góc này là hai góc kề bù nên \(\widehat{CFI} = \widehat{AFI} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\) hay \(IF \bot CA\)

Mà \(DF \bot AC\) nên DF và IF trùng nhau, hay I, D, F thẳng hàng.