Đề bài

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

Đặt \(g\left( x \right)=f\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)\). Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=g\left( x \right).\)

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tính đạo hàm g’(x) và lập bảng biến thiên.

Đặt \(g'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} \right)f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} \right) = 0\\f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\\frac{{{x^2} + 1}}{x} = a\,\,\left( {a <  - 2} \right)\\\frac{{{x^2} + 1}}{x} = b\,\,\left( { - 2 < b < 2} \right)\\\frac{{{x^2} + 1}}{x} = c\,\,\left( {c > 2} \right)\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\): \(h'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\):

Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình $h\left( x \right)=a,h\left( x \right)=c$, mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \( \pm 1\), mà \(a \ne c\) \( \Rightarrow f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right) = 0\) có 4 nghiệm đơn phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) khác \( \pm 1\) và phương trình \(h\left( x \right) = b\) vô nghiệm.

Do đó phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là \({x_1}, - 1,{x_2},{x_3},1,{x_4}\).

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)\) có 6 cực trị.