Đề bài

Cho phương trình lượng giác \(\cos 2x =  - \frac{1}{2}\) (*).

a) Phương trình (*) tương đương với phương trình: \(\cos 2x = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\).

Đúng

Sai

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (*) bằng \(\frac{\pi }{3}\).

Đúng

Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{3\pi }}{2}\).

Đúng

Sai

d) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình (*) tương đương với phương trình: \(\cos 2x = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\).

Đúng

Sai

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (*) bằng \(\frac{\pi }{3}\).

Đúng

Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{3\pi }}{2}\).

Đúng

Sai

d) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

a) Sai. \(\cos 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 2x=\cos \left( \frac{2\pi }{3} \right)\).

b) Đúng. \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).

\(0 < x < \pi  \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi }\\{0 <  - \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3}}\\{x = \frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \(\frac{{2\pi }}{3} > \frac{\pi }{3}\) nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3}\).

c) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là: $S=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\pi $.

d) Sai. Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình (*) có 2 nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3}\) và \(x = \frac{{2\pi }}{3}\).