Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.

 

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.

b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra

\(2AB - BM + CN = 2AB\).

\(- BM + CN = 0\)

\(BM = CN\)

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC. Vậy BM = CN (đpcm)

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

\(\widehat {IME} = \widehat {CNI}\)(hai góc so le trong)

\(\widehat {MEI} = \widehat {NCI}\)(hai góc so le trong)

\(\widehat {MEB} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {MEB} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta MBE\)cân tại M  nên MB = ME. Do đó, ME = CN.

Ta chứng minh được \(\Delta MEI = \Delta NCI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (g.c.g)\)

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt), \(\widehat {MIK} = \widehat {NIK} = {90^0}\)

IK là cạnh chung. Do đó \(\Delta MIK = \Delta NIK(c.g.c)\).

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có:

AB = AC(gt),

\(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (do BK là tia phân giác của góc BAC),

AK là cạnh chung,

Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK(c.g.c)\).

Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có:

MB = CN, BK = KN, MK = KC,

Do đó \(\Delta BKM = \Delta CKN(c.c.c)\),

Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {KCN}\).

Mà \(\widehat {MBK} = \widehat {ACK} \Rightarrow \widehat {ACK} = \widehat {KCN} = {180^0}:2 = {90^0} \Rightarrow KC \bot AN.\)(đpcm)