Đề bài

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, kẻ $AH$ vuông góc với $BC$$\left( {H \in BC} \right)$. Gọi $P$ là trung điểm của $HC$. Trên tia đối của tia $PA$ lấy điểm $Q$ sao cho $QP = PA$.

a) Chứng minh rằng: $\Delta APH = \Delta QPC$ và $QC$ vuông góc với$BC$.

b) Chứng minh rằng: $QC = AH$từ đó suy ra $AC > QC$.

c) Chứng minh rằng: $\angle PAC < \angle HAP$

d) Gọi $I$ là trung điểm của $BQ$. Chứng minh rằng ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

 

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác (Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn)

+ Tính chất trọng tâm của tam giác.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

a. Xét $\Delta APH$và $\Delta QPC$có:

+ $HP = PC$(gt)

+ $\angle APH = \angle QPC$(đối đỉnh)

+ $QP = PA$ (gt)

$ \Rightarrow $$\Delta APH = \Delta QPC$ (c.g.c) (đpcm).

$ \Rightarrow \angle AHP = \angle QCP = {90^o}$(hai góc tương ứng)

$ \Rightarrow QC \bot BC$(đpcm).

b. Theo (a) $\Delta APH = \Delta QPC$

$ \Rightarrow QC = AH$(hai cạnh tương ứng) (1)

Mà $\Delta AHC$vuông tại H $ \Rightarrow AH < AC$(cạnh góc vuông

Từ (1) và (2), suy ra $QC < AC$(đpcm).

c. Xét $\Delta AQC$có $QC < AC$$ \Rightarrow \angle QAC < \angle AQC$                    (3)  (Mối quan hệ giữa cạnh- góc trong tam giác)

Mặt khác $\Delta APH = \Delta QPC \Rightarrow \angle HAP = \angle PQC = \angle AQC$           (4)

Từ (3) và (4) $ \Rightarrow \angle HAP < \angle QAC$ hay $\angle HAP < \angle PAC$(đpcm).

d. Xét $\Delta ABQ$có $BP$là trung tuyến ứng với cạnh $AQ$

Mà $BH = 2HP$(do $H$ là trung điểm của $BC$, $P$là trung điểm của $HC$) $ \Rightarrow H$là trọng tâm $\Delta ABQ$    (5)

Lại có $I$là trung điểm của $BQ$ $ \Rightarrow AI$là trung tuyến ứng với cạnh $BQ$          (6)

Từ (5), (6)  $ \Rightarrow H \in AI$

$ \Rightarrow A,H,I$thẳng hàng (đpcm)