Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DM = MA\).

a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta DMC\).

b) Trên tia đối của tia \(CD\), lấy điểm \(I\) sao cho \(CI = CA\), qua điểm \(I\) vẽ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(E\). Chứng minh \(\Delta ACE = \Delta ICE\), từ đó suy ra \(\Delta ACE\) là tam giác vuông cân.

 

Phương pháp giải

a) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta AMB = \Delta DMC\left( {c.g.c} \right)\)

b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle EIC = {90^0}\), từ đó chứng minh được \(\Delta ACE = \Delta ICE\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle ICE\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta ACE\) vuông cân tại \(A\left( {\angle EAC = {{90}^0}} \right)\)

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

a) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,AM\) là đường trung tuyến\( \Rightarrow CM = BM\)

Ta có: \(\angle CMD = \angle AMB\) (hai góc đối đỉnh)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}CM = BM\left( {cmt} \right)\\\angle CMD = \angle AMB\left( {cmt} \right)\\AM = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMB = \Delta DMC\left( {c.g.c} \right)\)

b) Ta có: \(\Delta AMB = \Delta DMC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ABM = \angle DCM\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc \(\angle ABM;\angle DCM\) ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow AB//CD\)

Mà \(AB \bot AC(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\)

\( \Rightarrow CD \bot AC\) tại \(C \Rightarrow EI \bot CD\) tại \(I\) (vì \(EI//AC\)) hay \(\angle EIC = {90^0}\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ICE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle EAC = \angle EIC = {90^0}\\CE\,\,chung\\AC = IC\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ACE = \Delta ICE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle ICE\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle ICE = \angle AEC\) (vì \(AB//CD\))

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle AEC\)

\( \Rightarrow \Delta ACE\) vuông cân tại \(A\left( {\angle EAC = {{90}^0}} \right)\)