Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle C = {30^0},\) đường cao \(AH.\) Trên đoạn \(HC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HB.\)
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHD\).
b) Chứng minh \(\Delta ABD\) là tam giác đều.
c) Từ \(C\) kẻ \(CE\) vuông góc với đường thẳng \(AD\)\(\left( {E \in \,AD} \right)\). Chứng minh \(DE = HB\).
d) Từ \(D\) kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\) (\(F\,\)thuộc \(AC\)), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AH.\) Chứng minh ba điểm \(I,\,D,\,F\) thẳng hàng.
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
b) Chứng minh \(\Delta ABD\)là tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\), rồi suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều.
c) Chứng minh \(DE = DH\) (hai cạnh tương ứng). Mà \(DH = DB\) (giả thiết) \( \Rightarrow DE = DB\).
d) Chứng minh \(FD//AB\) rồi sau đó chứng minh \(DI//AB\), rồi suy ra \(I,\,D,\,F\) là ba điểm thẳng hàng.
a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHD\) ta có:
\(HD = HB\) (gt)
\(AH\,\,chung\)
\(\angle AHB = \angle AHD = {90^0}\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AHB = \,\Delta AHD\) (c.g.c)
b) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\),
có \(\angle C = {30^0} \Rightarrow \angle B = {90^0} - {30^0} = {60^0}\) (định lý tổng ba góc của một tam giác).
Vì \(\Delta AHB = \,\Delta AHD\) (cmt)
\( \Rightarrow AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(A\) mà \(\angle B = {60^0}\)
Do đó: \(\Delta ABD\)là tam giác đều.
c) Vì \(\Delta ABD\)là tam giác đều (cmt)
\( \Rightarrow \angle DAB = {60^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle CAD = {90^0} - \angle DAB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {90^0} - {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {30^0}\end{array}\)
Xét \(\Delta ACD\) có \(\angle ACD = \angle \,CAD = {30^0}\).
\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(D.\)
\( \Rightarrow \,CD = AD\)
Xét \(\Delta DEC\) và \(\Delta DHA\) có:
\(CD = AD\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle E = \angle H = {90^0}\)
\(\angle CDE = \angle ADH\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \,\Delta DEC = \Delta DHA\) (cạnh huyền – góc nhọn).
\( \Rightarrow DE = DH\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(DH = DB\) (giả thiết)
\( \Rightarrow DE = DB\).
d) Từ \(D\) kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\) (\(F\,\)thuộc \(AC\)), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AH.\) Chứng minh ba điểm \(I,\,D,\,F\) thẳng hàng.
Ta có:
\(\begin{array}{l}DF \bot AC\,\left( {gt} \right)\\AB \bot AC\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow DF//AB\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Ta lại có:
\(\angle FDC = \angle HDI\) (đối đỉnh)
Mà \(\angle FDC = {90^0} - \angle C = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)
\( \Rightarrow \angle FDC = \angle HDI = {60^0}\)
Mà \(\angle B = {60^0}\)
\( \Rightarrow \angle B = \angle DHI\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Do đó: \(DI//AB\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra: \(\angle I,D,B\) là ba điểm thẳng hàng.
Danh sách bình luận