Đề bài

Cho \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) (với \(x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\)).

1) Tính giá trị của \(N\) khi \(x = 25\).

2) Rút gọn \(S = M.N\).

3) Tìm \(x\) để \(S <  - 1\).

 

Phương pháp giải

1) Kiểm tra điều kiện của \(x\).

Nếu thỏa mãn, thay \(x = 25\) vào biểu thức \(N\).

2) Kết hợp các phép biến đổi của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức M.

Rút gọn biểu thức \(S = M.N\).

3) Lập luận \(S <  - 1\).

Giải bất phương trình, kết hợp điều kiện ban đầu của \(x\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1) Thay \(x = 25\) (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\), ta có:

\(N = \frac{{\sqrt {25}  + 1}}{{\sqrt {25} }} = \frac{6}{5}\)

Vậy với \(x = 25\) thì giá trị của biểu thức \(N = \frac{6}{5}\).

2) Ta có: \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\)

\(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(M = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(M = \frac{{x + 2\sqrt x  - \sqrt x  - 2 - \left( {x - 2\sqrt x  + \sqrt x  - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(M = \frac{{x + \sqrt x  - 2 - x + \sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

Ta có: \(S = M.N\)

\(S = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

\(S = \frac{{2\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x .{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(S = \frac{2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(S = \frac{2}{{x - 1}}\)

Vậy \(S = \frac{2}{{x - 1}}\)

3) Ta có: \(S = \frac{2}{{x - 1}}\) (\(x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\)).

Vì \(S <  - 1\) nên \(\frac{2}{{x - 1}} <  - 1\), suy ra \(\frac{2}{{x - 1}} + 1 < 0\).

Do đó: \(\frac{{2 + x - 1}}{{x - 1}} < 0\) hay \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} < 0\) (1)

Vì \(x > 0\) nên \(x + 1 > 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(x - 1 < 0\) nên \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định \(x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\), ta được: \(0 < x < 1\)

Vậy với \(0 < x < 1\) thì \(S <  - 1\).