Đề bài

Bạn Nam có một ống thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 10 cm, chiều cao cốc là 15 cm đang đựng nước. Khi bạn Nam nghiêng cốc nước thì thấy mặt nước đi qua đường kính đáy và chạm miệng cốc. Thể tích lượng nước trong cốc là bao nhiêu \(c{m^3}\)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có: R = 5 cm là bán kính đáy cốc, h = 15 cm là chiều cao của cốc.

Thiết diện của khối nước, cắt bởi mặt phẳng bất kì vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\,\,\left( { - 5 \le x \le 5} \right)\) là tam giác ABC vuông tại B, với độ dài cạnh \(BC = \sqrt {{R^2} - {x^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}} \) và góc \(\alpha  = \widehat {BCA} = \arctan \frac{h}{R}\).

Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{h}{R} = 3\), suy ra \(BA = BC.\tan \alpha  = 3\sqrt {25 - {x^2}} \)

Vậy diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}BC\,.\,BA = \frac{3}{2}\left( {25 - {x^2}} \right)\).

Thể tích lượng nước trong cốc là: \(V = \int\limits_{ - 5}^5 {S\left( x \right)dx}  = \frac{3}{2}.\int\limits_{ - 5}^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx}  = 250\,\,c{m^3}\).