Đề bài

Cho hệ trục tọa độ Oxyz mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía Đông, trục Oy hướng về phía Nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (như hình minh họa bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet. Hai khinh khí cầu bay lên cùng thời điểm, chiếc thứ nhất xuất phát tại điểm O, chiếc thứ hai xuất phát từ điểm I(1; 0; 0). Sau 20 phút chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 1 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát 2 km về phía Bắc và 2 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Hỏi nếu giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 10 phút nữa 2 khinh khí cầu cách nhau bao km (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Xác định tọa độ hai chiếc khinh khí cầu dựa vào dữ liệu đề bài cho. Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto và công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.

Gọi vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai sau khi bay 20 phút lần lượt là M và N.

Sau 20 phút:

+ Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát O(0; 0; 0) 1 km về phía Đông, 1 km về phía Nam, cách mặt đất 0,5 km nên:

M = (0 + 1; 0 + 1; 0 + 0,5) = (1; 1; 0,5).

+ Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát I(1; 0; 0) 2 km về phía Đông, 2 km về phía Bắc, cách mặt đất 0,8 km nên:

N = (1 + 2; 0 - 2; 0 + 0,8) = (3; -2; 0,8).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) lần lượt là vị trí của khinh khí cầu thứ nhất, thứ hai sau khi bay 10 phút tiếp theo. Do đó, thời gian hai chiếc khinh khí cầu bay từ O đến A, B mất 30 phút.

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {OM}  \Rightarrow A\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{4}} \right)\);

\(\overrightarrow {IB}  = \frac{3}{2}\overline {IN}  \Rightarrow B\left({4; - 3;\frac{6}{5}} \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5} - \frac{3}{4}} \right)}^2}}  \approx 5,2\).