Đề bài

Một hình tam giác đều màu trắng có cạnh 2 đơn vị dài được chia thành bốn hình tam giác nhỏ hơn bằng nhau và hình tam giác ở chính giữa được tô màu đỏ (như hình vẽ).

Mỗi hình tam giác màu trắng nhỏ hơn lại được chia thành bốn hình tam giác con bằng nhau, và mỗi hình tam giác con ở chính giữa lại được tô màu đỏ. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại sáu lần, thì tổng diện tích các hình tam giác không được tô màu đỏ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Lần phân chia thứ nhất, 1 hình tam giác thành 4 hình tam giác con, diện tích hình tam giác tô màu đỏ là \({u_1} = \frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{.2^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Lần phân chia thứ hai, 3 hình tam giác thành 12 hình tam giác con, diện tích hình tam giác tô màu đỏ tăng thêm là \({u_2} = 3.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{.2^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\left( {\frac{3}{4}} \right).\)

Lần phân chia thứ ba, 9 hình tam giác thành 36 hình tam giác con, diện tích hình tam giác tô màu đỏ tăng thêm là \({u_3} = 9.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\frac{{\sqrt 3 }}{4}{.2^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}.\)

Lần phân chia thứ tư, 27 hình tam giác thành 108 hình tam giác con, diện tích hình tam giác tô màu đỏ tăng thêm là \({u_4} = 27.\frac{1}{4}\frac{1}{4}\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{.2^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3}.\)

Tương tự ta thu được diện tích các phần tô màu đỏ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có \(\,{u_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\), \(q = \frac{3}{4}\).

Do đó, tổng diện tích hình tam giác tô màu đỏ sau 6 lần chia là \({S_6} = {u_1}.\frac{{{q^6} - 1}}{{q - 1}}\).

Diện tích phần không bị tô là \(S\, = \,\frac{1}{2}2.2.{\mathop{\rm Sin}\nolimits} 60^\circ  - {S_6}\, \approx 0,31\,\).