Đề bài

Phương trình \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = -2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0;2024]?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

\(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) =- 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = -2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3}\, + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\x =  - \frac{\pi }{6}\, + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(x \in \left[ {0;2024} \right]\) nên:

+ Với \(x = \frac{\pi }{3}\, + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

\(0 \le \frac{\pi }{3}\, + k2\pi  \le 2024 \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{1012}}{\pi } - \frac{1}{6}\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên có \(322\) nghiệm thỏa mãn.

+ Với \(x =  - \frac{\pi }{6}\, + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

\(0 \le x =  - \frac{\pi }{6}\, + k\pi \,\, \le 2024 \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{{2024}}{\pi } + \frac{1}{6}\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên có \(642\) nghiệm thỏa mãn.

 Vậy có \(642 + 322 = 964\) nghiệm thỏa mãn.