Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\), với m là tham số. Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1};{x_2}\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6\).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), tìm điều kiện của m để \(\Delta  > 0\).

Sử dụng định lí Viète để biểu diễn \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Biến đổi để tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2 = 2m - 1\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta  \ge 0\) hay \(2m - 1 \ge 0\), suy ra \(m \ge \frac{1}{2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{1} = 2m + 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{{{m^2} + 2}}{1} = {m^2} + 2\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6\\ = {m^2} + 2 - 2\left( {2m + 2} \right) - 6\\ = {m^2} - 4m - 8\\ = {m^2} - 4m + 4 - 12\end{array}\)

\( = {\left( {m - 2} \right)^2} - 12 \ge  - 12\) với mọi \(m\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của A bằng -12 khi \(m - 2 = 0\) hay \(m = 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -12 khi m = 2.