Đề bài

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính\(AB\), gọi \(I\) là trung điểm của \(OA\), dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại I.  Lấy \(K\) tùy ý trên cung \(BC\) nhỏ, \(AK\) cắt \(CD\) tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(BIHK\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(AH.AK\) có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm \(K\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua hai tam giác vuông nội tiếp cùng một đường tròn.

b) Chứng minh $\Delta AHI\backsim \Delta ABK\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số liên quan đến \(AH,AK\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta HKB\) vuông tại K.

\(\widehat {HIB} = 90^\circ \) (dây CD vuông góc với AB tại I) nên \(\Delta HIB\) vuông tại I.

Do đó \(\Delta HKB,\Delta HIB\) cùng nội tiếp đường tròn đường kính HB, suy ra H, I, B, K thuộc một đường tròn hay tứ giác \(BIHK\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tam giác AHI và tam giác ABK có:

\(\widehat {HIB} = \widehat {HKB} = 90^\circ \)

\(\widehat A\) chung

nên $\Delta AHI\backsim \Delta ABK$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AB}}{{AK}}\). Do đó \(AH.AK = AI.AB\).

Mà I là trung điểm của AO nên \(AI = \frac{{AO}}{2} = \frac{R}{2}\).

Suy ra \(AH.AK = AI.AB = \frac{R}{2}.2R = {R^2}\) (không đổi).

Vậy \(AH.AK\) có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm \(K\).