Đề bài

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là \(250m\). Tính diện tích của khu vườn biết rằng nếu một cạnh giảm 3 lần và cạnh còn lại tăng 2 lần thì diện tích khu vườn giảm \(1250{m^2}\). Người ta sử dụng \(\frac{1}{5}\) diện tích khu vườn để trồng hoa. Hỏi diện tích đất còn lại là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Tính nửa chu vi của khu vườn.

Gọi cạnh thứ nhất của khu vườn là: \(x\,(m,\,\,0 < x < 125)\)

Biểu diễn cạnh thứ hai và diện tích của khu vườn ban đầu.

Biểu diễn hai cạnh khi thay đổi và diện tích khu vườn mới.

Lập phương trình và giải phương trình, kiểm tra lại điều kiện.

Tính diện tích khu vườn, từ đó tính diện tích trồng hoa, diện tích còn lại.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Nửa chu vi của khu vườn là \(250:2 = 125\,(m)\)

Gọi cạnh thứ nhất của khu vườn là: \(x\,(m,\,\,0 < x < 125)\)

Cạnh thứ hai của khu vườn là: \(125 - x\,(m)\)

Diện tích khu vườn là: \(x.(125 - x) = 125{\rm{x}} - {x^2}\,({m^2})\)

Giả sử cạnh thứ nhất giảm đi 3 lần thì độ dài cạnh thứ nhất là: \(\frac{x}{3}\) (m)

Giả sử cạnh thứ hai tăng lên 2 lần thì độ dài cạnh thứ hai là: \(2(125 - x)\,(m)\)

Khi đó diện tích khu vườn là: \(\frac{x}{3}.2.(125 - x) = \frac{{250{\rm{x}}}}{3} - \frac{{2{{\rm{x}}^2}}}{3}\,\,({m^2})\)

Vì khi một cạnh giảm 3 lần và cạnh còn lại tăng 2 lần thì diện tích khu vườn giảm \(1250\,{m^2}\) nên ta có phương trình: \(125{\rm{x}} - {x^2} - \frac{{250{\rm{x}}}}{3} + \frac{{2{{\rm{x}}^2}}}{3} = 1250\)

Suy ra: \({x^2} - 125{\rm{x}} + 3750 = 0\)

Giải phương trình ta được: \({x_1} = 75\) (tmđk); \({x_2} = 50\) (tmđk)

Vậy một cạnh của khu vườn bằng \(75\,m\), cạnh còn lại là \(50\,m\).

Do đó diện tích của khu vườn hình chữ nhật ban đầu là: \(75.50 = 3750\,({m^2})\)

Diện tích đất trồng hoa là: \(3750.\frac{1}{5} = 750\,({m^2})\)

Diện tích đất còn lại là: \(3750 - 750 = 3000\,({m^2})\)