Đề bài

Khối rubik như hình vẽ có độ dài cạnh bằng 2. Khi gắn rubik vào hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AA’ (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng cos[B,MN,D’] = m, tính giá trị 14m.

 

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của B, D’ trên MN.

Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {D'H'} } \right)\).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AA’, suy ra M(1;2;0), N(0;0;1).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\, - 2;\,1} \right)\) \( \Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Gọi \(H\left( {t;2t;1 - t} \right)\), \(H'\left( {u;2u;1 - u} \right)\) theo thứ tự là hình chiếu của B, D’ trên MN.

\(\overrightarrow {BH} \left( {t - 2;2t;1 - t} \right);\overrightarrow {D'H'} \left( {u;2u - 2; - 1 - u} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\, - 2;\,1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - t - 4t + 1 - t = 0\\ - u - 4u + 4 - 1 - u = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} \left( { - \frac{3}{2};1;\frac{1}{2}} \right);\overrightarrow {D'H'} \left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \cos \left[ {B,MN,D'} \right] = \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {D'H'} } \right) = \frac{{ - \frac{3}{4} - 1 - \frac{3}{4}}}{{\sqrt {\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}} .\sqrt {\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}} }} =  - \frac{5}{7}\)

\( \Rightarrow \cos \left[ {B,MN,D'} \right] =  - \frac{5}{7} = m \Rightarrow 14m =  - 10\).