Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - \sqrt 2 x - 2 + \sqrt 3  = 0\). Tính \(x_1^3 + x_2^3\).

• A. \(8 - 3\sqrt 3 \).
• B. \(\sqrt 2 \).
• C. \(\sqrt 2 \left( {8 - 3\sqrt 3 } \right)\).
• D. \(\sqrt 2 \left( {8 + 3\sqrt 3 } \right)\).

Phương pháp giải

- Xác định số nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) bằng \(\Delta \): \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

- Sử dụng định lí Viète để tìm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

- Biến đổi \(x_1^3 + x_2^3\) theo \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình \({x^2} - \sqrt 2 x - 2 + \sqrt 3  = 0\) có \(a = 1\), \(b =  - \,\sqrt 2 \), \(c =  - 2 + \sqrt 3 \).

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)\( = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) = 10 - 4\sqrt 3  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1}\;\),\({\rm{ }}{x_2}\).

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{{ - \sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2 \\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3  - 2\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1}^3 + {x_2}^3 = ({x_1} + {x_2})\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\ = ({x_1} + {x_2})\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\ = ({x_1} + {x_2})\left[ {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\\ = \sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^2} - 3\left( {\sqrt 3  - 2} \right)} \right]\\ = \sqrt 2 \left( {2 - 3\sqrt 3  + 6} \right)\\ = \sqrt 2 \left( {8 - 3\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Vậy \(x_1^3 + x_2^3 = \sqrt 2 \left( {8 - 3\sqrt 3 } \right)\).

Đáp án C

Đáp án : C