Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\)(m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) sao cho biểu thức \(P = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm \(\Delta  = {b^2} - 4ac\), tìm điều kiện của m để \(\Delta  \ge 0\)

Sử dụng định lí Viète để tìm \({x_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Thay \({x_1};{x_2}\) vào P để tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.\left( {m - 3} \right) = 4 - 4m + 12 =  - 4m + 16\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta  \ge 0\) hay \( - 4m + 16 \ge 0\), suy ra \(m \le 4\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{1} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 3}}{1} = m - 3\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = {2^2} - 2\left( {m - 3} \right) + {\left( {m - 3} \right)^2}\\ = 4 - 2m + 6 + {m^2} - 6m + 9\\ = {m^2} - 8m + 19\\ = {m^2} - 8m + 16 + 3\end{array}\)

\( = {\left( {m - 4} \right)^2} + 3 \ge 3\) với mọi \(m\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi \(m - 4 = 0\) hay \(m = 4\).

Vậy \(m = 4\) thì P đạt giá trị nhỏ nhất.