Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(\left( O \right)\), đường cao AH, đường kính AM. Gọi I là trung điểm BC. 

a) \(\widehat {ACM} = 45^\circ \).

Đúng

Sai

b) \(\widehat {OAC} = \widehat {BAH}\).

Đúng

Sai

c) \(OI{\mkern 1mu} {\rm{//}}{\mkern 1mu} AH\).

Đúng

Sai

d) Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn \(\left( O \right)\). Tứ giác BCMN là hình bình hành.

Đúng

Sai

Đáp án

a) \(\widehat {ACM} = 45^\circ \).

Đúng

Sai

b) \(\widehat {OAC} = \widehat {BAH}\).

Đúng

Sai

c) \(OI{\mkern 1mu} {\rm{//}}{\mkern 1mu} AH\).

Đúng

Sai

d) Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn \(\left( O \right)\). Tứ giác BCMN là hình bình hành.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Sử dụng hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \(90^\circ \).

b) Sử dụng hai góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau để chứng minh \(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\).

Kết hợp với tổng hai góc phụ nhau để suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {BAH}\).

c) Chứng minh OI là đường cao nên \(OI \bot BC\), mà \(AH \bot BC\) nên \(AH//OI\).

d) Sử dụng hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \(90^\circ \).

Chứng minh MN // BC suy ra BCMN là hình thang. Chứng minh hai góc ở đáy \(\widehat {CBN} = \widehat {BCM}\) thông qua hai cung trên cùng một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo, suy ra BCMN là hình thang cân.

a) Sai

Vì \(\widehat {ACM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACM} = 90^\circ \).

b) Đúng

Xét (O) có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = 90^\circ \left( {AH \bot BC} \right)\)

Lại có: \(\widehat {OAC} + \widehat {AMC} = 90^\circ \) (tam giác ACM có \(\widehat {ACM} = 90^\circ \)).

Suy ra \(\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {OAC} + \widehat {AMC}\)

nên \(\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\)

c) Đúng

Tam giác BOC cân tại O (OB = OC = R) có I là trung điểm của BC nên OI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra \(OI \bot BC\)

Mà \(AH \bot BC\) nên \(OI//AH\).

d) Sai

Xét (O) có \(\widehat {ANM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ANM} = 90^\circ \) suy ra \(AN \bot NM\)

Mà \(BC \bot AN\) suy ra \(MN//BC\). Do đó tứ giác BCMN là hình thang. (1)

Ta lại có: \(\widehat {BAN} = \widehat {CAM}\) (vì \(\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\))

Do đó: $\overset\frown{BN}=\overset\frown{CM}$

$\overset\frown{BN}+\overset\frown{MN}=\overset\frown{CM}+\overset\frown{MN}$

$\overset\frown{BNM}=\overset\frown{CMN}$

Do đó \(\widehat {BCM} = \widehat {CBN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCMN là hình thang cân.

Đáp án: SĐĐS