Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), kẻ \(AH\)vuông góc với \(BC\)\(\left( {H \in BC} \right)\). Gọi \(P\) là trung điểm của \(HC\). Trên tia đối của tia \(PA\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(QP = PA\).

a) Chứng minh rằng: \(\Delta APH = \Delta QPC\) và \(QC\) vuông góc với\(BC\).

b) Chứng minh rằng: \(QC = AH\) từ đó suy ra \(AC > QC\).

c) Chứng minh rằng: \(\angle PAC < \angle HAP\)

d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BQ\). Chứng minh rằng ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.

 

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác (Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn)

+ Tính chất trọng tâm của tam giác.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a. Xét \(\Delta APH\)và \(\Delta QPC\)có:

+ \(HP = PC\)(gt)

+ \(\angle APH = \angle QPC\)(đối đỉnh)

+ \(QP = PA\) (gt)

\( \Rightarrow \)\(\Delta APH = \Delta QPC\) (c.g.c) (đpcm).

\( \Rightarrow \angle AHP = \angle QCP = {90^o}\)(hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow QC \bot BC\)(đpcm).

b. Theo (a) \(\Delta APH = \Delta QPC\)

\( \Rightarrow QC = AH\)(hai cạnh tương ứng) (1)

Mà \(\Delta AHC\)vuông tại H \( \Rightarrow AH < AC\)(cạnh góc vuông <cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(QC < AC\)(đpcm).

c. Xét \(\Delta AQC\)có \(QC < AC\)\( \Rightarrow \angle QAC < \angle AQC\) (3) (Mối quan hệ giữa cạnh- góc trong tam giác)

Mặt khác \(\Delta APH = \Delta QPC \Rightarrow \angle HAP = \angle PQC = \angle AQC\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \angle HAP < \angle QAC\) hay \(\angle HAP < \angle PAC\)(đpcm).

d. Xét \(\Delta ABQ\)có \(BP\)là trung tuyến ứng với cạnh \(AQ\)

Mà \(BH = 2HP\)(do \(H\) là trung điểm của \(BC\), \(P\)là trung điểm của \(HC\)) \( \Rightarrow H\)là trọng tâm \(\Delta ABQ\) (5)

Lại có \(I\)là trung điểm của \(BQ\)\( \Rightarrow AI\)là trung tuyến ứng với cạnh \(BQ\) (6)

Từ (5), (6) \( \Rightarrow H \in AI\)

\( \Rightarrow A,H,I\)thẳng hàng (đpcm)