TUYENSINH247 ĐỒNG GIÁ 299K TOÀN BỘ KHOÁ HỌC TỪ LỚP 1-LỚP 12

TẶNG KHOÁ ĐỀ THI HK2 TỚI 599K

Chỉ còn 1 ngày

Đề bài

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc ${v_T} = 5\sqrt t$ (km/h), quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình ${s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right)$ (km) (với t tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được 10 km đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân để tìm ra Tít hay Mít chạy được 10 km nhanh hơn. Tại thời điểm đó, tính quãng đường bạn còn lại đã chạy được. Từ đó, tính khoảng cách giữa hai bạn.

Ta có ${s_M}'(t) = 5 - \frac{5}{{2\pi }}\cos \left( {2\pi t} \right).2\pi = 5 - 5\cos \left( {2\pi t} \right) \ge 0$ nên hàm số ${s_M}(t)$ đồng biến.

Khi đó, ${s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right) = 10 \Leftrightarrow t = 2$ .

Phương trình quãng đường Tít chạy được là ${s_T}(t) = \int {{v_T}dt} = \int {5\sqrt t dt} = 5.\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{10}}{3}t\sqrt t + C$ .

Vì s(0) = 0 nên C = 0. Do đó ${s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t$ .

Ta có ${s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t = 10 \Leftrightarrow t\sqrt t = 3 \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{9}$ .

Vì $\sqrt[3]{9} > 2$ nên Mít chạy được quãng đường 10 km trước. Cùng lúc đó, Tít chạy được ${s_T}(2) = \frac{{10}}{3}.2\sqrt 2 = \frac{{20\sqrt 2 }}{3}$ km.

Khoảng cách giữa hai bạn là $10 - \frac{{20\sqrt 2 }}{3} \approx 0,57$ km.

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Tìm:

a) $\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx$ ;

b) $\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)$ ;

c) $\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx$ ;

d) $\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx$ .

Xem lời giải >>

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = {2^x} - \frac{1}{x}$ ;

b) $y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}$ .

Xem lời giải >>

Tìm:

a) $\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx}$

b) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx}$

c) $\int {{2^{3x}}dx}$

d) $\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx}$

Xem lời giải >>

Cho hàm số $f(x) = 2x + {e^x}$ . Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ sao cho F(0) = 2023 là:

A. ${x^2} + {e^x} + 2023$

B. ${x^2} + {e^x} + C$

C. ${x^2} + {e^x} + 2022$

D. ${x^2} + {e^x}$

Xem lời giải >>

a) Cho hàm số $f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}$ . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ sao cho F(0) = 2023

b) Cho hàm số $g(x) = \frac{1}{x}$ . Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng $(0; + \infty )$ sao cho G(1) = 2023

Xem lời giải >>

Tính đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = x{e^x}$ , suy ra nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ .

Xem lời giải >>

Tìm

a) $\int {{x^5}dx}$

b) $\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx}$ $\left( {x > 0} \right)$

c) $\int {{7^x}dx}$

d) $\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx}$

Xem lời giải >>

Tìm

a) $\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx}$

b) $\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx}$

c) $\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx}$

d) $\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$

Xem lời giải >>

Tìm

a) $\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx}$

b) $\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx}$

c) $\int {{{\tan }^2}xdx}$

d) $\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx$

Xem lời giải >>

Kí hiệu $h\left( x \right)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ $h'\left( x \right) = \frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm $\left( {1 \le x \le 11} \right)$ .

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Xem lời giải >>

Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ ${v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$ . Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Xem lời giải >>

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$
B. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C}$
C. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C$
D. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C$

Xem lời giải >>

Tìm:

a) $\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx}$

b) $\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx}$

c) $\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx}$

d) $\int {\left( {{3^2}x - 2 + 4\cos x} \right)dx}$

e) $\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx}$

g) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx}$

Xem lời giải >>

Tính đạo hàm của $F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$ . Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ .

Xem lời giải >>

Cho $f\left( x \right) = {x^2}\ln x$ và $g\left( x \right) = x\ln x$ . Tính $f'\left( x \right)$ và $\int {g\left( x \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Tìm:

a) $\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx$ ; b) $\int {\left( {3\sqrt x - 4\sin x} \right)} {\rm{ }}dx$ .

Xem lời giải >>

Tìm:

a) $\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx$ ;

b) $\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx$ .

Xem lời giải >>

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây.

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Xem lời giải >>

Cho $F\left( u \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( u \right)$ trên khoảng $K$ và $u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}$ , là hàm số có đạo hàm liên tục, $u\left( x \right) \in K$ với mọi ${\rm{x}} \in {\rm{J}}$ . Tìm $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \cdot u'\left( x \right)dx$ .

Áp dụng: Tìm $\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx}$ và $\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}$ .

Xem lời giải >>

Tìm:

a) $\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx$ ;

b) $\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx$ .

Xem lời giải >>

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = {\sin ^2}\frac{x}{2}$ ;

b) $y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5$ .

Xem lời giải >>

a) $\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx}$ ;

b) $\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx}$

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Hàm số $y = \log x$ là nguyên hàm của hàm số:

A. $y = \frac{1}{x}$ .

B. $y = \frac{1}{{x\ln 10}}$ .

C. $y = \frac{{\ln 10}}{x}$ .

D. $y = \frac{1}{{x\log 10}}$ .

Xem lời giải >>

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}$ .

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{x^3}dx} - \int {3{{\rm{x}}^2}dx}$ .

b) $f'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}$ .

c) $f'\left( x \right) = {x^4} - {x^3}$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = {x^4} + {x^3} + C$ .

Xem lời giải >>

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ .

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin xdx} + \int {\cos xdx}$ .

b) $f'\left( x \right) = \cos x - \sin x$ .

c) $f'\left( x \right) + f\left( x \right) = \cos x$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = - \cos x + \sin x + C$ .

Xem lời giải >>

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)$ .

a) $f\left( x \right) = {x^2} + 3{\rm{x}} + 2$ .

b) $f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3$ .

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 2} \right)dx} .\int {\left( {x + 1} \right)dx}$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2{\rm{x}} + C$ .

Xem lời giải >>

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = 2\sin x$ ;

b) $f\left( x \right) = \cos x + {x^3}$ ;

c) $f\left( x \right) = \frac{{ - {x^4}}}{2} - 3\cos x$ .

Xem lời giải >>

Tìm:

a) $\int {{2^x}\ln 2dx}$ ;

b) $\int {2x\cos \left( {{x^2}} \right)dx}$ ;

c) $\int {{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Tìm $\int {\frac{{{x^2} + 7{\rm{x}} + 12}}{{x + 3}}dx}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Xem lời giải >>

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^7} + 8}}{x}$ .

a) $f\left( x \right) = {x^6} + \frac{8}{x}$ .

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} - \int {\frac{8}{x}dx}$ .

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} + \int {\frac{8}{x}dx}$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^7}}}{7} + 8\ln \left| x \right|$ .

Xem lời giải >>