Đề bài

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc \({v_T} = 5\sqrt t \) (km/h), quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình \({s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right)\) (km) (với t tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được 10 km đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân để tìm ra Tít hay Mít chạy được 10 km nhanh hơn. Tại thời điểm đó, tính quãng đường bạn còn lại đã chạy được. Từ đó, tính khoảng cách giữa hai bạn.

+) Xét bạn Mít:

Ta có \({s_M}'(t) = 5 - \frac{5}{{2\pi }}\cos \left( {2\pi t} \right).2\pi = 5 - 5\cos \left( {2\pi t} \right) \ge 0\) nên hàm số \({s_M}(t)\) đồng biến.

Khi đó, \({s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right) = 10 \Leftrightarrow t = 2\).

Tức là Mít chạy được 10 km trong 2 giờ.

+) Xét bạn Tít:

Phương trình quãng đường Tít chạy được là:

\({s_T}(t) = \int {{v_T}dt} = \int {5\sqrt t dt} = 5.\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{10}}{3}t\sqrt t + C\).

Ta có s(0) = 0 (vì ở thời điểm t = 0 thì chưa chạy được km nào), giải phương trình được C = 0. Do đó \({s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t \).

Ta có \({s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t = 10 \Leftrightarrow t\sqrt t = 3 \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{9}\).

Tức là Tít chạy được 10 km trong \(\sqrt[3]{9}\) giờ.

+) So sánh:

Vì \(\sqrt[3]{9} > 2\) nên Mít chạy được quãng đường 10 km trước (ở thời điểm t = 2). Cùng lúc đó, Tít chạy được:

\({s_T}(2) = \frac{{10}}{3}.2\sqrt 2 = \frac{{20\sqrt 2 }}{3}\) km.

Khoảng cách giữa hai bạn là:

\(10 - \frac{{20\sqrt 2 }}{3} \approx 0,57\) km.

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\);

b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)\);

c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\);

d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {2^x} - \frac{1}{x}\);

b) \(y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx} \)

b) \(\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} \)

c) \(\int {{2^{3x}}dx} \)

d) \(\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho hàm số \(f(x) = 2x + {e^x}\). Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023 là:

A. \({x^2} + {e^x} + 2023\)

B. \({x^2} + {e^x} + C\)

C. \({x^2} + {e^x} + 2022\)

D. \({x^2} + {e^x}\)

Xem lời giải >>

Bài 5 :

a) Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}\). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023

b) Cho hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\). Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng \((0; + \infty )\) sao cho G(1) = 2023

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = x{e^x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Tìm

a) \(\int {{x^5}dx} \)

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)

c) \(\int {{7^x}dx} \)

d) \(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Tìm

a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)

b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)

c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx} \)

d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Tìm

a) \(\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} \)

b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)

c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)

d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\)

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ \({v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C} \)
C. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C\)
D. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Tìm:

a) \(\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx} \)

b) \(\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx} \)

c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)

d) \(\int {\left( {{3^2}x - 2 + 4\cos x} \right)dx} \)

e) \(\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx} \)

g) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Từ đó suy ra nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho \(f\left( x \right) = {x^2}\ln x\) và \(g\left( x \right) = x\ln x\). Tính \(f'\left( x \right)\) và \(\int {g\left( x \right)dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx\); b) \(\int {\left( {3\sqrt x - 4\sin x} \right)} {\rm{ }}dx\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\);

b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx\).

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây.

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho \(F\left( u \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( u \right)\) trên khoảng \(K\) và \(u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}\), là hàm số có đạo hàm liên tục, \(u\left( x \right) \in K\) với mọi \({\rm{x}} \in {\rm{J}}\). Tìm \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \cdot u'\left( x \right)dx\).

Áp dụng: Tìm \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \) và \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Tìm:

a) \(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx\);

b) \(\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx\).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);

b) \(y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5\).

Xem lời giải >>

Bài 22 :

a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx} \)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Hàm số \(y = \log x\) là nguyên hàm của hàm số:

A. \(y = \frac{1}{x}\).

B. \(y = \frac{1}{{x\ln 10}}\).

C. \(y = \frac{{\ln 10}}{x}\).

D. \(y = \frac{1}{{x\log 10}}\).

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{x^3}dx} - \int {3{{\rm{x}}^2}dx} \).

b) \(f'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}\).

c) \(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^3}\).

d) \(\int {f\left( x \right)dx} = {x^4} + {x^3} + C\).

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin xdx} + \int {\cos xdx} \).

b) \(f'\left( x \right) = \cos x - \sin x\).

c) \(f'\left( x \right) + f\left( x \right) = \cos x\).

d) \(\int {f\left( x \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\).

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\).

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 3{\rm{x}} + 2\).

b) \(f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 2} \right)dx} .\int {\left( {x + 1} \right)dx} \).

d) \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2{\rm{x}} + C\).

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 2\sin x\);

b) \(f\left( x \right) = \cos x + {x^3}\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{{ - {x^4}}}{2} - 3\cos x\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Tìm:

a) \(\int {{2^x}\ln 2dx} \);

b) \(\int {2x\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \);

c) \(\int {{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Tìm \(\int {\frac{{{x^2} + 7{\rm{x}} + 12}}{{x + 3}}dx} \) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^7} + 8}}{x}\).

a) \(f\left( x \right) = {x^6} + \frac{8}{x}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} - \int {\frac{8}{x}dx} \).

c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} + \int {\frac{8}{x}dx} \).

d) \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^7}}}{7} + 8\ln \left| x \right|\).

Xem lời giải >>