Đề bài

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 1,5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60 m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3 km về phía bắc và 2,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz với gốc toạ độ O đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ kma theo hướng bắc và kmb theo hướng tây. Khi đó a + b bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc tính tọa độ vecto, tính độ dài vecto.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc drone, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.

Gọi vị trí chiếc drone thứ nhất và thứ hai lần lượt là P, Q.

Khi đó: \(P\left( {2,5;1,5;0,06} \right)\), \(Q\left( { - 3; - 2,5;0,04} \right)\).

Gọi I là điểm tiếp nhiên liệu trên mặt đất (Oxy). Khi đó I\(({x_I};{y_I};0)\).

Khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai drone nhỏ nhất, tức là IP + IQ nhỏ nhất.

Gọi P’ là điểm đối xứng của P qua (Oxy). Khi đó \(P'\left( {2,5;1,5; - 0,06} \right)\) và IP = IP’.

Vậy để IP + IQ nhỏ nhất thì IP’ + IQ nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi Q, I, P’ thẳng hàng, hay \(\overrightarrow {QP'} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương.

\(\overrightarrow {QP'}  = \left( {2,5 + 3;1,5 + 2,5; - 0,06 - 0,04} \right) = \left( {5,5;4; - 0,1} \right)\); \(\overrightarrow {QI} = \left( {{x_I} + 3;{y_I} + 2,5; - 0,04} \right)\).

Để \(\overrightarrow {QC} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương thì \(\frac{{{x_I} + 3}}{{5,5}} = \frac{{{y_I} + 2,5}}{4} = \frac{{ - 0,04}}{{ - 0,1}}\). Từ đó tính được \({x_I} =  - 0,8\); \({y_I} =  - 0,9\).

Ta có \(I\left( { - 0,8; - 0,9;0} \right)\), suy ra \(a = 0,8\); \(b = 0,9\). Vậy a + b = 0,8 + 0,9 = 1,7.