Đề bài

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm \((0 < x \le 2500)\), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là \(f(x) = 2006x - {x^2}\) và tổng chi phí là \(g(x) = {x^2} + 1438x - 1209\) (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 320). Giá trị của t bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm tính lợi nhuận. Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai và đạo hàm để tìm ra giá trị t.

Ta có lợi nhuận là \(P(x) = f(x) - g(x) - xt\)

\(= 2006x - {x^2} - ({x^2} + 1438x - 1209) - xt\)

\( =  - 2{x^2} + 568x - xt + 1209\)

\(=  - 2{x^2} + (568 - t)x + 1209\).

Đồ thị hàm số P(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (do a = -2 < 0).

Do đó, P(x) lớn nhất tại đỉnh parabol, hay \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{568 - t}}{{2( - 2)}} = \frac{{568 - t}}{4}\).

Số tiền thuế thu được khi đó là \(xt = \frac{{568 - t}}{4}t =  - \frac{{{t^2}}}{4} + 142t = h(t)\). Ta cần tìm t để h(t) lớn nhất.

Có \(h'(t) =  - \frac{1}{2}t + 142 = 0 \Leftrightarrow t = 284\).

Vậy giá trị t cần tìm là 284.

Mở rộng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].