Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có O là giao điểm của AC và BD. Biết SO = AB = 2. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Giả sử \(\left( {d,(SBC)} \right) = \alpha \). Khi đó \(\sin \alpha  = \frac{{d\left( {A,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pythagore để tính.

Giả sử \(\left( {SA,(SBC)} \right) = \alpha \), E là hình chiếu của A lên (SBC).

Khi đó \(\sin \alpha  = \frac{{AE}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}}\).

Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó \(SI \bot BC\).

Kẻ \(OH \bot SI\), H thuộc SI.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC\\SI \bot BC\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow BC \bot (SOI) \Rightarrow BC \bot OH\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot BC\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow OH \bot (SBC) \Rightarrow d\left( {O,(SBC)} \right) = OH\).

Xét tam giác SOI vuông tại O có đường cao OH:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = \frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow OH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Xét tam giác SAO vuông tại O:

\(SA = \sqrt {A{O^2} + S{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 6 \).

Vậy \(\sin \alpha  = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2OH}}{{SA}} \)

\(= \frac{{2.\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).