Đề bài

Biết rằng phương trình bậc hai \({x^2} + x + m = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2  - 1}}\) và \({x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = 2024{x_1} + 2025{x_2}\)

Phương pháp giải

Trục căn thức nghiệm \({x_1}\): \(\frac{C}{{\sqrt A  + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\)

Sử dụng định lí Viète để tìm \({x_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Thay \({x_1};{x_2}\) vào A.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \({x_1} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2  - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}} = \frac{{2 + 2\sqrt 2  + 1}}{{2 - 1}} = 3 + 2\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Viète vào phương trình \({x^2} + x + m = 0\), ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} =  - 1\)

\(\begin{array}{l}3 + 2\sqrt 2  + {x_2} =  - 1\\{x_2} =  - 1 - 3 - 2\sqrt 2 \\{x_2} =  - 4 - 2\sqrt 2 \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2024{x_1} + 2025{x_2}\\ = 2024\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) + 2025\left( { - 4 - 2\sqrt 2 } \right)\\ = 6072 + 4048\sqrt 2  - 8100 - 4050\sqrt 2 \\ =  - 2028 - 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy \(A =  - 2028 - 2\sqrt 2 \).