Đề bài

Trạm không lưu sân bay Đà nẵng xây dựng hệ tọa độ Oxyz (gốc O đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TPHCM theo tia \(\overrightarrow {OA} \) lần lượt hợp với ba tia \(\overrightarrow {Ox} \), \(\overrightarrow {Oy} \), \(\overrightarrow {Oz} \) các góc bằng nhau với vận tốc 800 km/h. Mười phút sau, máy bay B đi Hà Nội theo tia \(\overrightarrow {OB} \) hợp với ba tia \(\overrightarrow {Ox'} \), \(\overrightarrow {Oy'} \), \(\overrightarrow {Oz} \) các góc bằng nhau với vận tốc 900 km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng thức s = vt để tìm khoảng cách OA, OB, từ đó suy ra tọa độ A, B.

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

Xét điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A}) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = ({x_A};{y_A};{z_A})\). Ta có:

\(\cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i) = \frac{{{x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} }}\);

\(\cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j) = \frac{{{y_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} }}\);

\(\cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k) = \frac{{{z_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} }}\).

Mà tia OA lần lượt hợp với 3 tia Ox, Oy, Oz ba góc bằng nhau

\( \Rightarrow \frac{{{x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} }} = \frac{{{y_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} }} = \frac{{{z_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} }}\)

\( \Rightarrow {x_A} = {y_A} = {z_A}\).

Giả sử A(a;a;a) với a > 0. Tương tự, B(-b;-b;b) với b > 0.

Máy bay A xuất phát lúc 6h, đến 6h30 máy bay di chuyển được 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ.

Suy ra \(OA = \frac{1}{2}.800 \Leftrightarrow OA = 400\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}}  = 400 \Leftrightarrow a = \frac{{400}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow A\left( {\frac{{400}}{{\sqrt 3 }};\frac{{400}}{{\sqrt 3 }};\frac{{400}}{{\sqrt 3 }}} \right)\).

Máy bay B xuất phát lúc 6h10, đến 6h30 máy bay di chuyển được 20 phút = \(\frac{1}{3}\) giờ.

Suy ra \(OB = \frac{1}{3}.900 \Leftrightarrow OB = 300\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{( - b)}^2} + {{( - b)}^2} + {b^2}}  = 300 \Leftrightarrow b = 100\sqrt 3 \)

\(\Rightarrow B\left( { - 100\sqrt 3 ; - 100\sqrt 3 ;100\sqrt 3 } \right)\).

Vậy khoảng cách giữa hai máy bay lúc 6h30 là:

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 100\sqrt 3  - \frac{{400}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( { - 100\sqrt 3  - \frac{{400}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {100\sqrt 3  - \frac{{400}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}  \approx 574\) (km).