Đề bài

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(N = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)\).

Phương pháp giải

Xác định số nghiệm của phương trình bằng tích a.c.

Áp dụng định lí Viète để biểu diễn tổng và tích của hai nghiệm.

Biến đổi N sao cho xuất hiện tổng (tích) của hai nghiệm để tính giá trị biểu thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\) có \(a.c = 1.\left( { - 7} \right) =  - 7 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} =  - 7\end{array} \right.\).

Ta có:

\(N = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)\\ = 9{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 + 3{x_1}^2 + {x_1}{x_2}\\ = 3{x_1}^2 + 3{x_2}^2 + 10{x_1}{x_2}\\ = 3{x_1}^2 + 3{x_2}^2 + 6{x_1}{x_2} + 4{x_1}{x_2}\\ = 3\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) + 4{x_1}{x_2}\\ = 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2}\\ = {3.3^2} + 4.\left( { - 7} \right)\\ = 27 - 28\\ =  - 1\)