Đề bài

Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 5x + m = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho tổng bình phương của hai nghiệm bằng 13.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức nghiệm Delta để tìm điều kiện của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt.

\(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

- Biến đổi tổng bình phương của hai nghiệm sao cho xuất hiện tổng/tích của hai nghiệm để sử dụng định li Viète để tìm m.

Định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m = 0\) (\(m\) là tham số) có \(a = 1;b =  - 5;c = m\) nên ta có:

\(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.m = 25 - 4m\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}25 - 4m > 0\\ - 4m >  - 25\\m < \frac{{25}}{4}\end{array}\)

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 5\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = m\end{array} \right.\)

Mặt khác,  \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\).

Vì tổng bình phương của hai nghiệm bằng 13 nên ta có:

\(\begin{array}{l}{5^2} - 2.m = 13\\2m = 25 - 13\\2m = 12\\m = 6\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy với \(m = 6\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 13.

Đáp án: 6