Đề bài

Hai đa thức A(x) và B(x) thoả mãn:

\(A\left( x \right) + B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4;A\left( x \right) - B\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} - 2\)

a)Tìm A(x), B(x) rồi xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.

b)Tìm giá trị của mỗi đa thức A(x) và B(x) tại x = -1.

Phương pháp giải

-Lấy vế trái cộng vế trái, vế phải cộng vế phải: \(A\left( x \right) + B\left( x \right) + A\left( x \right) - B\left( x \right) \Rightarrow A\left( x \right) \Rightarrow B\left( x \right)\)

-Thay x = -1 vào 2 đa thức tìm được.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

\(\begin{array}{l}A\left( x \right) + B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4\\A\left( x \right) - B\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} - 2\end{array}\)

Lấy vế trái cộng vế trái, vế phải cộng vế phải, ta được:

\(\begin{array}{l}A\left( x \right) + B\left( x \right) + A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {{x^3} - 5{x^2} - 2x + 4} \right) + \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2} \right)\\2A\left( x \right) = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - 5{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( { - 2x} \right) + \left( {4 - 2} \right)\\2A\left( x \right) =  - 2{x^2} - 2x + 2\\A\left( x \right) =  - {x^2} - x + 1\end{array}\)

Bậc: 2

Hệ số cao nhất:-1

Hệ số tự do: 1

Mà

 \(\begin{array}{l}A\left( x \right) + B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4\\ \Rightarrow B\left( x \right) = \left( {{x^3} - 5{x^2} - 2x + 4} \right) - A\left( x \right)\\ \Rightarrow B\left( x \right) = \left( {{x^3} - 5{x^2} - 2x + 4} \right) - \left( { - {x^2} - x + 1} \right)\\ \Rightarrow B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4 + {x^2} + x - 1\\ \Rightarrow B\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2} - x + 3\end{array}\)

Bậc: 3

Hệ số cao nhất: 1

Hệ số tự do: 3

b)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A\left( { - 1} \right) =  - {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 1 =  - 1 + 1 + 1 = 1\\B\left( { - 1} \right) = {1^3} - {4.1^2} - 1 + 3 = 1 - 4 - 1 + 3 =  - 1\end{array}\)