Đề bài

Cho đường thẳng \(y = \frac{3}{4}x\) và parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\), (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\),  \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì giá trị biểu thức 128a + 3 bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Ta có phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 4a = 0\).

Theo đề bài phương trình có hai nghiệm \(0 < {x_1} < {x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{3}{2}\quad \left( * \right)\\{x_1}{x_2} = 2a\quad \,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\).

\({S_1} - {S_2} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_1}} {\left| {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a} \right|{\rm{d}}x}  = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_2}} {\left| {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a} \right|{\rm{d}}x}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left. {\left| {\frac{1}{6}{x^3} - \frac{3}{8}{x^2} + ax} \right|} \right|_0^{{x_2}} = 0 \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{6}x_2^3 - \frac{3}{8}x_2^2 + a{x_2}} \right| = 0 \Rightarrow a =  - \frac{{x_2^2}}{6} + \frac{{3{x_2}}}{8}\)   (***).

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow {x_1} = \frac{3}{2} - {x_2}\), thay vào \(\left( {**} \right) \Rightarrow \left( {\frac{3}{2} - {x_2}} \right){x_2} =  - \frac{{x_2^2}}{3} + \frac{{3{x_2}}}{4} \Leftrightarrow \frac{{2x_2^2}}{3} - \frac{{3{x_2}}}{4} = 0 \Rightarrow {x_2} = \frac{9}{8}\).

Thay vào (***) ta được \(a = \frac{{27}}{{128}}\).

Vậy \(128a + 3 = 128.\frac{{27}}{{128}} + 3 = 30\).