Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm, bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (hình vẽ sau).
Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Đáp án:
Lập hàm số biểu diễn thể tích của khối chóp và tìm giá trị lớn nhất bằng cách ứng dụng đạo hàm.
Gọi cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là x (dm) với \(0 < x < 6\sqrt 2 \) như hình bên.
Ta có: \(AH = \frac{{AC - HK}}{2} = 3\sqrt 2 - \frac{x}{2}\).
Đường cao của hình chóp tứ giác đều là: \(h = \sqrt {A{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 - \frac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \).
Thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}h{x^2} = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)} \).
Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)\)với \(0 < x < 6\sqrt 2 \).
Ta có: \(f'(x) = {x^3}\left( { - 15\sqrt 2 x + 72} \right)\), \(f'(x) = 0\) khi x = 0 hoặc \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).
Bảng biến thiên của f(x) như sau:
Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6\sqrt 2 } \right)} f(x) = f\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 477,75\) tại \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).
Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng \(V = \frac{1}{3}.\sqrt {{{\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)}^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 .\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)} \approx 7,3\) \(\left( {d{m^3}} \right)\).
Hình chóp đều
Là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý:
- Khi đáy của hình chóp đều lần lượt là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ta gọi hình chóp đều đó là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều, hình chóp lục giác đều.
- Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.
* Chân đường cao của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận