Đề bài

Một mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy dài 2,4 m và độ dài các cạnh bên của hình chóp bằng 3 m . Gọi góc nhị diện giữa hai mặt bên đối diện của mái che giếng trời đó là \(\alpha \), tính \(\cos \alpha \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Mô hình hóa mái che dạng chóp tứ giác đều. Áp dụng quy tắc xác định góc nhị diện, định lý Pythagore và hệ quả định lý cosin trong tam giác.

Mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD, SA = 3, AB = 2,4.

Gọi P, Q là trung điểm của BC, AD. Khi đó \(SP \bot BC\) và \(SQ \bot AD\) (đường trung tuyến đồng thời là đường cao của các tam giác cân đỉnh S).

Vì (SBC) chứa BC và (SAD) chứa AD, mà BC // AD, S là giao điểm của hai mặt phẳng đó nên tiếp tuyến của chúng là đường thẳng d qua S sao cho d // BC // AD.

Suy ra \(SP \bot d\) và \(SQ \bot d\).

Khi đó \(\widehat {PSQ} = \alpha \) là góc nhị diện giữa hai mặt bên đối diện (SAD), (SBC).

Ta có: SB = 3, PB = 1,2.

Xét tam giác SPB vuông tại P:

\(SP = \sqrt {S{B^2} - P{B^2}}  = \sqrt {{3^2} - 1,{2^2}}  = \frac{{3\sqrt {21} }}{5} = SQ\).

Xét tam giác SPQ:

\(\cos \alpha  = \frac{{S{P^2} + S{Q^2} - P{Q^2}}}{{2.SP.SQ}} = \frac{{13}}{{21}} \approx 0,62\).