Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y – z – 3 = 0 và hai điểm A(1;-3;-4), B(1;2;1).

a) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1; - 1; - 1)\).

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow {AB}  = (0;5;5)\).

Đúng

Sai

c) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Đúng

Sai

d) Cho điểm M di động trên (P). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + M{B^2}\) bằng 56.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1; - 1; - 1)\).

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow {AB}  = (0;5;5)\).

Đúng

Sai

c) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Đúng

Sai

d) Cho điểm M di động trên (P). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + M{B^2}\) bằng 56.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1; - 1; - 1)\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = (1 - 1;2 + 3;1 + 4) = (0;5;5)\).

c) Đúng. \(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 - ( - 3) - ( - 4) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

d) Sai. Gọi I là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 4\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + 4{x_B}}}{5} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + 4{y_B}}}{5} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + 4{z_B}}}{5} = 0\end{array} \right. \Rightarrow I(1;1;0)\).

Ta có: \(M{A^2} + 4M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + 4{\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IM} } \right)^2} + 4{\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)

\( = 5I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {\overrightarrow {IA}  + 4\overrightarrow {IB} } \right) + M{A^2} + 4M{B^2}\).

Suy ra \(M{A^2} + 4M{B^2} = 5I{M^2} + I{A^2} + 4I{B^2}\).

\(M{A^2} + 4M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất (vì IA, IB cố định) \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

Khi đó \(IM = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 - 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt 3 \).

\(I{A^2} = {(1 - 1)^2} + {( - 3 - 1)^2} + {( - 4 - 0)^2} = 32\);

\(4I{B^2} = 4\left[ {{{(1 - 1)}^2} + {{(2 - 1)}^2} + {{(1 - 0)}^2}} \right] = 8\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M{A^2} + 4M{B^2}\) là \(5I{M^2} + I{A^2} + 4I{B^2} = 5.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 32 + 8 = 55\).