Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy và tam giác đều SAB cạnh 2a. Biết tam giác ABC vuông tại C và cạnh \(AC = a\sqrt 3 \).
a) \(SH \bot (ABC)\) với H là trung điểm AB.
b) \(d\left( {S,(ABC)} \right) = a\sqrt 3 \).
c) \(d\left( {C,(SAB)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
d) Thể tích của khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
a) \(SH \bot (ABC)\) với H là trung điểm AB.
b) \(d\left( {S,(ABC)} \right) = a\sqrt 3 \).
c) \(d\left( {C,(SAB)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
d) Thể tích của khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, định lý Pythagore, công thức tính thể tích khối chóp.
a) Đúng. H là trung điểm AB, mà tam giác SAB đều nên SH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, hay \(SH \bot AB\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(SAB) \bot (ABC)\\(SAB) \cap (ABC) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset (SAB)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot (ABC)\).
b) Đúng. Tam giác SAB đều cạnh 2a có độ dài đường cao là \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot (ABC)\\H \in (ABC)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {S,(ABC)} \right) = SH = a\sqrt 3 \).
c) Sai. Kẻ đường cao CK của tam giác ABC.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot CK\\AB \bot CK\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot (SAB) \Rightarrow d\left( {C,(SAB)} \right) = CK\).
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại C:
\(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\).
Xét tam giác ABC vuông tại C có đường cao CK:
\(AB.CK = CA.CB \Leftrightarrow CK = \frac{{CA.CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {C,(SAB)} \right) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
d) Sai. Diện tích đáy hình chóp là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Danh sách bình luận