Đề bài

Cho các hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 5 cắt trục hoành, đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) lần lượt tại A, B và C. Biết rằng CB = 2AB và \(a = m{b^n}\) với m, n là các số nguyên dương. Tính \({m^2} + {n^2}\).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng các phép biến đổi logarit \({\log _a}b = \frac{a}{{{{\log }_b}a}}\); \(m{\log _a}b = {\log _a}{b^m}\).

Ta có \(CB = 2AB \Leftrightarrow CB + BA = 3BA \Leftrightarrow CA = 3BA\)

\( \Leftrightarrow {\log _b}5 = 3{\log _a}5 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_5}b}} = \frac{3}{{{{\log }_5}a}} \Leftrightarrow {\log _5}a = 3{\log _5}b \Leftrightarrow {\log _5}a = {\log _5}{b^3} \Leftrightarrow a = {b^3}\).

Vậy m = 1, n = 3. Suy ra \({m^2} + {n^2} = {1^2} + {3^2} = 10\).