Đề bài

Hiện nay Uranium tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ \(^{235}U\) và \(^{238}U,\) với tỉ lệ số hạt \(^{235}U\)và số hạt \(^{238}U\) là \(\frac{7}{{1000}}.\) Biết chu kì bán rã \(^{235}U\) và \(^{238}U\) lần lượt là \(7,{00.10^8}\) năm và \(4,{50.10^9}\) năm. Cách đây bao nhiêu tỉ năm, Uranium tự nhiên có tỷ lệ số hạt \(^{235}U\) và số \(^{238}U\) là \(\frac{3}{{100}}?\)(Kết quả làm tròn đến 2 chử số thập phân sau dấu phẩy)?

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạt còn lại: \(N = {N_0}{e^{ - \lambda t}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Hiện nay, số hạt \(^{235}U\) và \(^{238}U\) là số hạt còn lại, có tỉ lệ là: \(\frac{{{N_{{0_{235}}}}{2^{\frac{{ - {t_0}}}{{{T_{235}}}}}}}}{{{N_{{0_{238}}}}{2^{\frac{{ - {t_0}}}{{{T_{238}}}}}}}} = \frac{7}{{1000}}\).

Cách đây t năm, tỉ lệ số hạt \(^{235}U\) và \(^{238}U\) là \(\frac{3}{{100}}\) nên ta có: \(\frac{{{N_{{0_{235}}}}{2^{\frac{{ - \left( {{t_0} - t} \right)}}{{{T_{235}}}}}}}}{{{N_{{0_{238}}}}{2^{\frac{{ - \left( {{t_0} - t} \right)}}{{{T_{238}}}}}}}} = \frac{3}{{100}}\)

Lập tỉ số ta được: \(\frac{{\frac{{{N_{{0_{235}}}}{2^{\frac{{ - {t_0}}}{{{T_{235}}}}}}}}{{{N_{{0_{238}}}}{2^{\frac{{ - {t_0}}}{{{T_{238}}}}}}}}}}{{\frac{{{N_{{0_{235}}}}{2^{\frac{{ - \left( {{t_0} - t} \right)}}{{{T_{235}}}}}}}}{{{N_{{0_{238}}}}{2^{\frac{{ - \left( {{t_0} - t} \right)}}{{{T_{238}}}}}}}}}} = \frac{{\frac{7}{{1000}}}}{{\frac{3}{{100}}}} \Leftrightarrow \frac{{{2^{\frac{t}{{{T_{238}}}}}}}}{{{2^{\frac{t}{{{T_{235}}}}}}}} = {2^{t\left( {\frac{1}{{{T_{238}}}} - \frac{1}{{{T_{235}}}}} \right)}} = \frac{7}{{30}}\)

Từ đó \(t = \frac{{\log _2^{\frac{7}{{30}}}}}{{\frac{1}{{{T_{238}}}} - \frac{1}{{{T_{235}}}}}} = \frac{{\log _2^{\frac{7}{{30}}}}}{{\frac{1}{{4,{{5.10}^9}}} - \frac{1}{{{{7.10}^8}}}}} = 1,7404\) tỉ năm.

Đáp án: 1,74