Đề bài

Trong không gian Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0;0;0), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí A(-500;-250;150), B(-200;-200;100). Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là (a;b;c). Giá trị của biểu thức -3a - b - c là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Gọi \(H \in AB\) là vị trí máy bay. Tìm tọa độ của H sao cho OH ngắn nhất.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (300;50; - 50)\) nên \(\overrightarrow u  = (6;1; - 1)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình đường thẳng AB đi qua A, nhận \(\overrightarrow u  = (6;1; - 1)\) làm vecto chỉ phương là:

\(\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}\).

Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng AB. Khi đó, OH là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát.

Ta có vị trí máy bay là \(H(6t - 500;t - 250; - t + 150)\).

Vì \(OH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {OH} .\vec u{\rm{\;}} = 0 \Leftrightarrow (6t - 500).6 + (t - 250) - ( - t + 150) = 0\)

\( \Leftrightarrow 36t - 3000 + t - 250 + t - 150 = 0 \Leftrightarrow 38t = 3400 \Leftrightarrow t = {\rm{\;}}\frac{{1700}}{{19}}\).

Suy ra \(H\left( { \frac{{700}}{19}; - \frac{{3050}}{19};\frac{{1150}}{19}} \right)\).

Vậy \( - 3a - b - c =  - \frac{{200}}{{19}} \approx  - 11\).

Mở rộng

Các lý thuyết được ứng dụng:

1. Vectơ trong không gian:

Một vectơ trong không gian Oxyz được biểu diễn bằng tọa độ $\overrightarrow v = (v_x; v_y; v_z)$.

Vectơ nối hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ là $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Một đường thẳng trong không gian được xác định bởi một điểm nó đi qua và một vectơ có giá song song hoặc trùng với nó, gọi là vectơ chỉ phương.

Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A và B, thì vectơ $\overrightarrow{AB}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

3. Phương trình đường thẳng trong không gian:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (u_x; u_y; u_z)$ là $\frac{{x - x_0}}{{u_x}} = \frac{{y - y_0}}{{u_y}} = \frac{{z - z_0}}{{u_z}}$ (nếu các thành phần của $\overrightarrow u$ khác 0).

Phương trình tham số tương ứng là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {u_x}t\\y = {y_0} + {u_y}t\\z = {z_0} + {u_z}t\end{array} \right.\), trong đó t là tham số thực. Mỗi giá trị của t xác định một điểm trên đường thẳng.

4. Tích vô hướng của hai vectơ:

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u = (u_x; u_y; u_z)$ và $\overrightarrow v = (v_x; v_y; v_z)$ là $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$.

Hai vectơ khác vectơ-không được gọi là vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.