Đề bài

Cho điểm A(1;2;−1) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): x – 2y + 2z + 2 = 0. Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và cách A một khoảng 1 có dạng \(\left( \beta  \right)\): x – by + cz + d = 0. Khi đó S = 3b – c + d bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

\(\left( \beta  \right)\) // \(\left( \alpha  \right)\) nên phương trình của \(\left( \beta  \right)\) có dạng: x – 2y + 2z + d = 0 \((d \ne 2)\).

Theo đề bài: \(d\left( {M,(\beta )} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2.2 + 2.( - 1) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = 2\end{array} \right.\) .

Vì \(d \ne 2\) nên d = 8 thỏa mãn.

Suy ra \(\left( \beta  \right)\): x – 2y + 2z + 8 = 0.

Mà \(\left( \beta  \right)\) có dạng x – 2y + 2z + d = 0 nên ta có b = 2, c = 2, d = 8.

Vậy S = 3.2 – 2 + 8 = 12.