Đề bài

Phương trình ${x^2} + ax + b = 0$ (với a, b là các số nguyên) có một nghiệm là $5 + \sqrt {21}$. Tổng của a và b là:

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Thay nghiệm $5 + \sqrt {21}$ vào phương trình, lập hệ phương trình hai ẩn a, b để tìm a, b.

Áp dụng định lí Viète để vào phương trình tìm được để tìm nghiệp còn lại.

Gọi ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} + ax + b = 0$ (1).

Không mất tính tổng quát, giả sử ${x_1} = 5 + \sqrt {21}$ và ${x_2}$ là nghiệm còn lại.

Thay $x = {x_1} = 5 + \sqrt {21}$ và (1) ta được:

$\begin{array}{l}{\left( {5 + \sqrt {21} } \right)^2} + a\left( {5 + \sqrt {21} } \right) + b = 0\\46 + 10\sqrt {21}  + 5a + \sqrt {21} a + b = 0\\\left( {a + 10} \right)\sqrt {21}  + \left( {5a + b + 46} \right) = 0\end{array}$

Vì a, b là các số nguyên nên ta có hệ:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + 10 = 0\\5a + b + 46 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 10\\b =  - 46 - 5a\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 10\\b = 4\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra phương trình (1) là ${x^2} - 10x + 4 = 0$

Ta có: $a + b =  - 10 + 4 =  - 6$

Đáp án: -6