Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người ta đã dùng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (phần tô đậm như hình vẽ). Tính diện tích của mỗi cánh hoa đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
H là giao điểm của d và (P).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giả sử parabol có bề lõm hướng xuống dưới có phương trình \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).
Parabol đó đi qua các điểm có tọa độ (20;0), (-20;0) và (0;20) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.20^2} + b.20 + c\\0 = a.{( - 20)^2} + b.( - 20) + c\\20 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}400a + 20b = - 20\\400a - 20b = - 20\\c = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{20}}\\b = 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(f(x) = - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20\).
Giả sử đường chéo hướng xuống dưới từ trái sang của viên gạch có phương trình y = mx + n, đi qua các điểm có tọa độ (-20;40) và (20;0) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}40 = m.( - 20) + n\\0 = m.20 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 20\end{array} \right. \Rightarrow y = - x + 20\).
Đồ thị của parabol vừa tìm cắt đường chéo tại hai điểm có hoành độ x = 0 và x = 20. Trên đoạn [0;20], ta thấy parabol nằm phía trên đường thẳng nên f(x) > -x + 20.
Diện tích một nửa cánh hoa là \(I = \int\limits_0^{20} {\left| { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right|dx} = I = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right)dx} = \frac{{200}}{3}\).
Diện tích một cánh hoa là \(S = 2I = 2.\frac{{200}}{3} = \frac{{400}}{3} \approx 133\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).
Để giải bài toán trên, ta áp dụng các lý thuyết:
1. Phương trình Parabol:
Cánh hoa được tạo ra bởi các đường parabol. Để tính diện tích, ta cần tìm phương trình của các đường parabol này. Dựa vào hình dạng và thông tin đề bài (parabol có đỉnh tại tâm viên gạch và đi qua các điểm trên cạnh viên gạch), chúng ta có thể xác định phương trình tổng quát của parabol (dạng $y = ax^2 + bx + c$). Bằng cách sử dụng các điểm mà parabol đi qua (ví dụ: các điểm trên cạnh viên gạch và đỉnh tại tâm), ta lập hệ phương trình và giải để tìm các hệ số a, b, c của phương trình parabol cụ thể.
2. Phương trình đường thẳng:
Để xác định vùng diện tích cần tính, ta cần cả phương trình của các đường thẳng giới hạn vùng đó. Trong trường hợp này, đường chéo của viên gạch (hoặc một phần của nó) được sử dụng làm giới hạn. Tương tự như parabol, phương trình đường thẳng (dạng y = ax + b) được xác định bằng cách sử dụng các điểm mà đường thẳng đi qua (ví dụ: các đỉnh của viên gạch hoặc các điểm cắt nhau).
3. Tích phân để tính diện tích:
Diện tích của một vùng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a;b] được tính bằng công thức $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.
4. Tính đối xứng:
Hình dạng của cánh hoa có tính đối xứng. Thay vì tính diện tích toàn bộ cánh hoa bằng một tích phân phức tạp hơn, ta tận dụng tính đối xứng để chỉ tính diện tích của một nửa cánh hoa. Sau đó, diện tích toàn bộ cánh hoa được suy ra bằng cách nhân đôi kết quả của nửa cánh hoa.
Danh sách bình luận