Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6.
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
a, b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
c) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
d) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).
a) Đúng. Trên đoạn [1;6], \(f(x) = \frac{{x + 1}}{x} > 0\), khi đó \(\left| {f(x)} \right| = \left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = \frac{{x + 1}}{x}\).
Diện tích hình phẳng (H) là \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx} = x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. + \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)
\( = 6 - 2 + \ln 6 - \ln 2 = 4 + \ln \frac{6}{2} = 4 + \ln 3\).
b) Sai. Diện tích hình phẳng đó là:
\(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x) - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. = \ln 6 - \ln 2 = \ln \frac{6}{2} = \ln 3\).
c) Đúng. \({V_1} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \left( {x + 2\ln x - \frac{1}{x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)
\( = \pi \left( {6 + 2\ln 6 - \frac{1}{6} - 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \pi \left( {4 + 2\ln 3 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Sai. \({V_2} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{f^2}(x) - {1^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2} - 1} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_2^6 {1dx} \)
\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - \pi x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array} = } \right.\frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - 4\pi = \frac{{\left( {1 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
Danh sách bình luận