Đề bài

Mặt cắt đứng của một cái cổng có dạng một đường parabol với chiều cao OH = 4 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 4 m (hình bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Dựa vào tọa độ các điểm thuộc parabol để tìm phương trình của parabol. Từ đó ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho H trùng với gốc tọa độ, A và B nằm trên trục hoành và B có hoành độ dương. O nằm trên trục tung.

Cổng parabol có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với a < 0 vì bề lõm hướng xuống dưới.

Khi đó H(0;0), A(-2;0), B(2;0) và O(0;4).

Vì A, B, H thuộc parabol nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.2^2} + b.2 + c\\0 = a.{( - 2)^2} + b.( - 2) + c\\4 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = 4a + 2b\\ - 4 = 4a - 2b\\4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow y =  - {x^2} + 4\).

Trên đoạn [-2;2], ta thấy parabol nằm phía trên trục hoành nên \( - {x^2} + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| { - {x^2} + 4} \right| =  - {x^2} + 4\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đoạn AB là:

\(\int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)dx}  = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)\)

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_{ - 2}}\end{array} = \left( { - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right)} \right. - \left[ { - \frac{{{{( - 2)}^3}}}{3} + 4.( - 2)} \right] = \frac{{16}}{3} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{32}}{3} \approx 10,7\) \(({m^2})\).